Είναι κοινή η πεποίθηση ότι η διδασκαλία των μαθηματικών πρέπει να διαμορφώνεται ώστε να έχει σα κύριο στόχο την ουσιαστική κατάκτηση των γνώσεων από τους μαθητές μας. Τα μαθηματικά έχουν θεωρία και ασκήσεις, και ο μέσος μαθητής δεν μπορεί να λύνει τις ασκήσεις γνωρίζοντας μόνο τη θεωρία. Προφανώς σήμερα δεν υπάρχει αυτή η δασκαλοκεντρική τακτική ότι ο καθηγητής παρουσιάζει τη θεωρία, διεκπεραιώνει την ύλη και λύνει τις ασκήσεις μόνος του. Η διδασκαλία είναι πλέον μαθητοκεντρική αλλά το θέμα είναι πόσο καθοδηγητικός πρέπει να είναι ένας εκπαιδευτικός , ποιες ερωτήσεις θα κάνει και πότε θα παρεμβαίνει. Το πλέον σύνηθες είναι να βάζουμε ασκήσεις στους μαθητές μας αλλά να μη διαθέτουμε τον απαιτούμενο χρόνο ώστε να καλλιεργήσουμε στους μαθητές μας δεξιότητες ευρηματικής επίλυσης των προβλημάτων. Τις περισσότερες φορές ασχολούμαστε με ασκήσεις που απαιτούν συγκεκριμένες μεθοδολογίες, αλλά αυτό δεν βοηθάει πραγματικά τον μαθητή.
Πολλές φορές βέβαια εμείς οι Μαθηματικοί ανατρέχουμε στις μεθοδολογίες ώστε να κερδίσουμε χρόνο για κάτι άλλο, αλλά όταν αυτό δεν γίνεται αντιληπτό λειτουργεί στους μαθητές αντανακλαστικά.
Οι μαθητές πρέπει να σκέφτονται και να καταλάβουμε όλοι ότι η άκρατη μεθοδολογία καταστρέφει τη σκέψη. Οι μαθητές πρέπει να δρουν και όχι να μας παρακολουθούν.
Το βιβλίο του Ούγγρου Μαθηματικού George Polya How to solve it (Stanford 1945) αν και είναι «παλιό », παραμένει σημαντικό γιατί γράφτηκε με σκοπό να αλλάξει στάσεις και συνήθειες που συνήθως «δεσμεύουν» μια διδασκαλία. Προτείνει τρόπους λύσης, στρατηγικές που διαμορφώθηκαν για χιλιάδες χρόνια και αφορούν την εξέλιξη των μαθηματικών και γενικότερα του πολιτισμού μας. Διαβάζεται από κάθε άνθρωπο με στοιχειώδη λογική και συνεπώς απευθύνεται σε όλη τη εκπαιδευτική κοινότητα. Πρώτος ο ονομαστός Έλληνας μαθηματικός, γεωμέτρης Πάππος ο Αλεξανδρεύς ασχολήθηκε με την ανάλυση και τη σύνθεση ενός προβλήματος δηλαδή με μεθόδους ευρετικής ενός προβλήματος
Ο πλέον φυσικός τρόπος για να βοηθήσει ένας καθηγητής σύμφωνα με τον Polya είναι να έχει την ενσυναίσθηση του πώς νιώθει ο μαθητής , δηλαδή να βάλει τον εαυτό του στη θέση του μαθητή. Είναι σύνηθες να μην ξεχωρίζει εύκολα κανείς τις καλές με τις κακές ερωτήσεις. Συχνά είναι εύκολο να χρησιμοποιηθεί μια κακή ερώτηση που δεν θα δώσει στο μαθητή το κίνητρο της αναζήτησης, αντίθετα θα του δημιουργήσει μια αίσθηση «αγγαρείας» και πειθήνιας καθοδήγησης. Για παράδειγμα μια σωστή ερώτηση θα ήταν «Χρησιμοποιήστε κατάλληλο θεώρημα», ενώ αντίθετα μια κακή θα ήταν «Χρησιμοποιήστε το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου».
Ένα συχνό φαινόμενο είναι να «κολλάει» το μυαλό μας μπροστά σε ένα πρόβλημα. Για αυτό δεν φταίνε οι γνώσεις που δεν έχουμε αλλά αυτές που έχουμε. Για αυτό και τα παιδιά είναι πιο δημιουργικά σε πιο μικρές ηλικίες και φτάνουν σε πιο απλές και έξυπνες λύσεις.
Η ευρετική είναι η ανάπτυξη μιας στρατηγικής ανεξάρτητης από κάθε ειδικό θέμα, που βοηθά τον λύτη να αντιμετωπίσει και να λύσει ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας αποτελεσματικά τις γνώσεις του. Πέρα από όλα αυτά όμως είναι σαφές ότι οι ευρετικές δεν αντικαθιστούν την έλλειψη γνώσεων.
Σύμφωνα με τον Polya αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα τότε α) Λύσε ένα απλούστερο με πιο ειδικές περιπτώσεις ώστε να ελαττωθεί η πολυπλοκότητα. β) Λύσε ένα σχετικό πρόβλημα και μετά γενίκευσε το. γ) Λύσε ένα ισοδύναμο πρόβλημα με αλλαγή οπτικής γωνίας, με επαναδιατύπωση ή με χρήση της μεθόδου της άτοπον επαγωγής ή με αντιθετοαντιστροφή. δ) Λύσε ένα ανάλογο πρόβλημα αντιστοιχώντας συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος με άλλο που έχει λυθεί. ε) Κάνε ένα σχήμα, ένα γράφημα, μια γραφική παράσταση ώστε να αποκτήσεις μια καλύτερη κατανόηση του προβλήματος.
Κατά τον Polya τα κυριότερα βήματα επίλυσης ενός προβλήματος συνίστανται στις παρακάτω τέσσερις φάσεις.
α) Κατανόηση του προβλήματος, αυτό σαφώς προϋποθέτει τον πλήρη αποσαφήνιση των δεδομένων και των ζητούμενων. Ο μαθητής δεν πρέπει να αναλώνεται σε άσκοπους υπολογισμούς όταν δεν έχει κατανοήσει το πρόβλημα. Οι ερωτήσεις που βοηθούν είναι της μορφής: «ποιο είναι το ζητούμενο;», «ποια είναι τα δεδομένα;», « ποια είναι η συνθήκη, είναι δυνατό να ικανοποιηθεί;»
β) Σύνδεση των δεδομένων με τα ζητούμενα και σύλληψη ενός σχεδίου. Το σχέδιο λύσης έρχεται σιγά-σιγά και πιθανό μετά από μερικές αποτυχημένες προσπάθειες. Έτσι μετά από μια περίοδο αναποφασιστικότητας ξαφνικά γεννιέται η ιδέα. Βέβαια απαραίτητο είναι να υπάρχει μια εμπειρία γνώσης από προηγούμενα θέματα. Ερωτήσεις όπως « γνωρίζετε κάποιο παρόμοιο πρόβλημα» ή «γνωρίζετε κάποιο πρόβλημα με παρόμοια ζητούμενα;», ή «αν, δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα, προσπαθήστε πρώτα να λύσετε κάποιο σχετικό πρόβλημα» βοηθούν σε αυτή την κατεύθυνση. Μετά λοιπόν από αυτές τις καθοδηγητικές ερωτήσεις και εφόσον δεν έχει ολοκληρωθεί το σχέδιο λύσης μπορεί να τεθεί η ερώτηση: « Χρησιμοποιήσατε όλα τα δεδομένα;»
γ) Εκτελούμε το σχέδιο λύσης που έχουμε συλλάβει. Συνήθως το βήμα αυτό είναι εύκολο για τον μαθητή που έχει συλλάβει το σχέδιο. Υπάρχει βέβαια κίνδυνος ο μαθητής να ξεχάσει το σχέδιο ή και να νομίζει ότι «βλέπει» τη λύση. Όμως πρέπει ο διδάσκων να τονίσει τη διαφορά του «βλέπω» και αποδεικνύω.
δ) Κάνουμε μια ανασκόπηση της λύσης την οποία και συζητάμε. Ακόμα και αν έχουν ελεγχθεί τα επιμέρους στάδια, αν η επίλυση έχει δύσκολες πράξεις απαιτείται επανεξέταση. Επιπλέον χρειάζεται η επανεξέταση για να «δοκιμάσουμε» τη λύση σε άλλα συναφή προβλήματα. Ερωτήσεις κατάλληλες θα ήταν « μπορείτε να δείτε τη λύση συνοπτικά;», «μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο σε άλλο πρόβλημα;».
Τα ανωτέρω είναι σημαντικά για κάθε εκπαιδευτικό, αλλά και για ικανούς μαθητές και μπορούν να εφαρμοστούν σε διαγωνισμούς, εξετάσεις και στις γνωστές πανελλήνιες που αρχίζουν τον άλλο μήνα. Πιο εξειδικευμένη βοήθεια για τις πανελλήνιες μπορούν να έχουν οι μαθητές μας από την διάλεξη που θα δώσει ο Θωμαΐδης Γιάννης, Δρ. Μαθηματικών, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Κιλκίς, Λαγκαδά, Ωραιοκάστρου την Κυριακή 10/5/2015 στο Κινηματοθέατρο Καρδίτσας ,με θέμα : «Απροσδόκητα Μαθηματικά λάθη στις Πανελλαδικές εξετάσεις Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου», που διοργανώνει το παράρτημα ΕΜΕ ν. Καρδίτσας
Βλάστος Αιμίλιος
Μαθηματικός στο Μουσικό Σχολείο Καρδίτσας-Γ.Γ. του παραρτήματος ΕΜΕ ν. Καρδίτσας
